Алексей Егоров родился 16 июня 1991 года в Обнинске Калужской области. В 2005 году начал заниматься боксом в спортивной школе «Квант». Его наставником стал заслуженный тренер России Вадим Мезенцев. В 2009 году окончил профессиональный лицей № 19.
В 2011–2016 годах входил в национальную сборную России. В 2013 году выиграл чемпионат Европы в Минске, одержав победу в финале над Теймуром Мамедовым, а затем стал чемпионом России. В 2015 году завоевал мировой титул AIBA Pro Boxing.
Профессиональная карьера началась 3 декабря 2016 года: в дебютном поединке Егоров победил Лукаша Русевича техническим нокаутом. В ноябре 2017 года выиграл у Андрея Князева и стал чемпионом России среди профессионалов.
В 2019 году победил Томаса Остхейзена в поединке за пояс IBF International, а затем Романа Головащенко — за титул WBA Gold. В 2022 году встретился с Арсеном Гуламиряном в бою за мировой титул WBA.
В 2025 году завоевал пояс WBA Continental Gold, победив Обаро Эрадажае. Анкета Федерации бокса России содержит историю профессиональных поединков и результаты выступлений.